$ C $ ja $ D $ arvutamiseks on kaks kõige väiksema ruudu meetodit. Mõlemad meetodid annavad teie konstantide jaoks erinevad tulemused. Õiget meetodit pole.
Vähim ruutude meetod
Väikseima ruudu vea määratleme järgmiselt: $$ \ text {lse} = \ summa_ {i} {\ left (y_i - f (x_i) \ right) ^ 2} $$ $ y_i $ ja $ x_i $ on meie andmed, mille kaudu soovime sobitada funktsiooni $ f (x) $. Eesmärk on vähendada meie viga $ \ text {lse} $.
Lahendus (minimaalne $ \ text {lse} $) lineaarfunktsioonile $ f (x) = a \ cdot x + b $ kirjeldatakse siin. $ \ Text {lse} $ miinimumi arvutamise põhiidee on seada $ \ osaline \ text {lse} / \ osaline $ ja $ \ osaline \ tekst {lse} / \ osaline b $, mis võrdub 0 $ $ lahendage saadud võrrandisüsteem väärtuseks $ a $ ja $ b $.
Olles öelnud, et jõudsime $ C $ ja $ D $ arvutamiseks kahele lahendile $ f (x) = C \ cdot x ^ {-D} $
1. lahendus: funktsiooni logaritmiseerimine
Kirjutame $$ y_i = C \ cdot x_i ^ {- D} $$ ümber $$ \ ln {y_i} = \ ln {\ left (C \ cdot x_i ^ {- D} \ right)} = \ ln {C} - D \ cdot \ ln {x_i} $$
Nüüd on meil funktsioon vorm $ \ tilde {y_i} = a \ cdot \ tilde {x_i} + b $ koos $ \ tilde {y_i} = \ ln {y_i} $, $ \ tilde {x_i} = \ ln {x_i} $, $ a = -D $ ja $ b = \ ln {C} $. Seega logaritmiseerime meie mõõdetud $ x_i $ ja $ y_i $ väärtused ning paneme need lineaarseima ruudu vea meetodi valemitesse. Saadud $ a $ ja $ b $ põhjal arvutame välja $ D $ ja $ C $.
Lahendus 2. Sisestage funktsioon sellisena nagu see on.
Seadistame $ f (x ) = C \ cdot x ^ {- D} $, sisestage see meie valemisse $ \ text {lse} $: $$ \ text {lse} = \ sum_i {\ left (y_i - C \ cdot x ^ {- D } \ right) ^ 2} $$ ja minimeerige saadud valemite $ C $ ja $ D $ suhtes antud komplekti $ x_i $ ja $ y_i $ korral. See on keeruline ja mitte nii sirgjooneline kui lineaarsel juhul. Võite teha $ \ osaline \ text {lse} / \ osaline C $ ja $ \ osaline \ text {lse} / \ osaline D $ ja vaadata, kui kaugele olete jõudnud.
Ma isiklikult, eelistage Gordon Stangeri vastust :-).